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Scientific Reports volumen 13, Número de artículo: 6562 (2023) Citar este artículo

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En el pasado, para modelar la rigidez de las fibras de radio finito, los modelos anteriores de deformación finita (no lineales) se basaban principalmente en la teoría del gradiente de deformación no lineal (segundo gradiente) o la teoría de barras de Kirchhoff. Observamos que estos modelos caracterizan el comportamiento mecánico de sólidos polares transversalmente isotrópicos con infinitas fibras puramente flexibles con radio cero. Para introducir el efecto de la rigidez a la flexión de la fibra en fibras puramente flexibles con radio cero, estos modelos asumieron la existencia de tensiones de par (torques de contacto) y tensiones de Cauchy no simétricas. Sin embargo, estas tensiones no están presentes en las deformaciones de los sólidos elásticos no polares reales reforzados por fibras de radio finito. Además de esto, la implementación de las condiciones de contorno para los modelos de segundo gradiente no es sencilla y la discusión sobre la efectividad de los modelos de elasticidad de gradiente de deformación para describir mecánicamente los sólidos continuos aún está en curso. En este artículo, desarrollamos una ecuación constitutiva para un sólido elástico no polar no lineal, reforzado por fibras incrustadas, en el que la resistencia elástica de las fibras a la flexión se modela a través de las ramas clásicas de la mecánica continua, donde el desarrollo de la teoría de tensiones se basa en materiales no polares; es decir, sin utilizar la segunda teoría del gradiente, que está asociada con tensiones de par y tensiones de Cauchy no simétricas. En vista de esto, el modelo propuesto es simple y algo más realista en comparación con los modelos anteriores de segundo gradiente.

Los materiales compuestos reforzados con fibra se han utilizado a menudo en aplicaciones de ingeniería recientes. El rápido crecimiento de las industrias manufactureras ha llevado a la necesidad de mejorar los materiales en términos de resistencia, rigidez, densidad y menor costo con una mayor sostenibilidad. Los materiales compuestos reforzados con fibra se han convertido en uno de los materiales que poseen tal mejora en las propiedades que aprovechan su potencial en una variedad de aplicaciones1,2,3,4. La infusión de fibras naturales o sintéticas naturales en la fabricación de materiales compuestos ha revelado aplicaciones significativas en una variedad de campos como biomédico, automotriz, mecánico, construcción, marino y aeroespacial5,6,7,8. En biomecánica, algunos tejidos blandos pueden modelarse como materiales compuestos reforzados con fibras9,10. En la ingeniería pesada moderna, los materiales pesados ​​tradicionales están siendo reemplazados gradualmente por estructuras compuestas de polímeros reforzados con fibra de menor peso y mayor resistencia. Estas estructuras, como vías férreas y puentes, están siempre bajo la acción de cargas dinámicas en movimiento provocadas por el tráfico vehicular en movimiento. Por lo tanto, en vista de lo anterior, una construcción rigurosa de un modelo mecánico constitutivo, basado en la sólida teoría de la mecánica continua, para sólidos reforzados con fibras no polares, es primordial y es de valioso interés en los diseños de ingeniería y encontraría muchos aplicaciones prácticas.

La larga historia11,12,13 de la mecánica de sólidos no polares reforzados con fibras ha enriquecido y avanzado significativamente, en general, el conocimiento de la mecánica de sólidos. Un problema de valor límite para un sólido elástico no polar reforzado con fibras (de radio finito) se puede resolver mediante el método de elementos finitos (FEM), si se permiten elementos pequeños para engranar las fibras. Si tratamos las fibras como un sólido isotrópico pero tienen propiedades materiales diferentes de las propiedades de la matriz (material que no es atribuible a las fibras), podemos usar una función de energía de deformación no homogénea

en la resolución del problema FEM, donde \(\lambda _1,\lambda _2\) y \(\lambda _3\) son los tramos principales. Observamos que, debido al radio finito de las fibras, se observa resistencia a la flexión debido a cambios en la curvatura de las fibras. Sin embargo, si el radio de la fibra es significativamente pequeño, el mallado de las fibras y la matriz puede ser problemático y, por lo tanto, puede que no sea posible buscar una solución de valor límite a través del FEM. Para superar este problema de radio significativamente pequeño, se puede obtener una solución FEM utilizando una función de energía de deformación elástica transversalmente13

donde \({\varvec{U}}\) es el tensor de extensión a la derecha y \({\varvec{a}}\) es el vector unitario preferido en la configuración de referencia. Notamos que este modelo transversalmente isotrópico contiene infinitas fibras puramente flexibles con radio cero; por lo tanto, este modelo no puede modelar la resistencia elástica debido a los cambios en la curvatura de las fibras. Hacemos hincapié en que la tensión de Cauchy en los modelos isotrópico y transversalmente isotrópico es simétrica y esto se observa realmente en un sólido no polar en ausencia de una tensión de par. Para modelar el efecto de la resistencia elástica debido a cambios en la curvatura de las fibras, se desarrollaron modelos recientes14,15,16,17 que se enmarcan en el marco de la teoría no lineal de gradiente de deformación o teoría de barras de Kirchhoff18. Observamos que estos modelos de segundo gradiente caracterizan el comportamiento mecánico de sólidos transversalmente isotrópicos (polares) con infinitas fibras puramente flexibles con radio cero. Pero, para simular el efecto de la rigidez a la flexión de la fibra sobre fibras puramente flexibles con radio cero, los modelos de segundo gradiente introducen la existencia de una tensión de par y una tensión de Cauchy no simétrica en las ecuaciones constitutivas; debemos enfatizar que ninguno de estos esfuerzos está presente en las deformaciones de sólidos elásticos no polares reales reforzados por fibras de radio finito. En general, los modelos de elasticidad de gradiente superior se utilizan para describir estructuras mecánicas a escala micro y nanométrica o para regularizar ciertos problemas mal planteados mediante estas contribuciones de gradiente superior. La discusión sobre la efectividad de los modelos de mayor elasticidad de gradiente para describir mecánicamente sólidos continuos aún está en curso19,20,21.

Por lo tanto, el objetivo de este artículo es proponer un modelo aproximado para simular el comportamiento mecánico de sólidos elásticos no polares reales reforzados con fibras de radio finito, donde la tensión de Cauchy es simétrica y la resistencia a la flexión de las fibras es causada por cambios en la curvatura de las fibras. fibras Nos centramos en los cambios en la curvatura de las fibras, ya que en los sólidos compuestos, estos cambios juegan un papel importante en el comportamiento mecánico de los sólidos. Dado que nuestro modelo contiene infinitas fibras con radio cero, excluimos los efectos debidos a la "torsión" de la fibra. De hecho, Spencer y Soldatos17 afirmaron que

"Al hacer esto, excluimos los efectos debidos a la 'extensión' y la 'torsión' de la fibra, que se encuentran en la teoría del cristal líquido, pero es plausible que en los sólidos compuestos de fibra el factor principal sea la curvatura de la fibra".

Nuestro modelo propuesto no requiere tensiones de par (que no se observan en sólidos elásticos no polares reales reforzados con fibras de radio finito) para describir la resistencia elástica de las fibras a la flexión.

El enfoque espectral14,22 se utiliza en el modelado y se describe de forma preliminar en las Seccs. "Preliminares" y "Función de energía de deformación", donde en la Secc. "Función de energía de deformación" una función de energía de deformación contiene un vector que gobierna los cambios en la curvatura de la fibra. En la Secc. El "prototipo de energía de deformación" y los problemas de valor límite para estudiar el efecto de la resistencia a la flexión de la fibra se presentan en la Sección. "Problema de valores en la frontera".

Deformación debida a la aplicación del desplazamiento del límite y la tracción del límite. \(B_r\) es la configuración de referencia (no deformada), \(B_t\) es la configuración actual, \({\varvec{x}}\) y \({\varvec{y}}\) son, respectivamente, los vectores de posición de X en las configuraciones de referencia y actual, donde X representa una partícula genérica del cuerpo sólido.

En esta comunicación, todos los subíndices i, j y k toman los valores 1,2,3, salvo que se indique lo contrario. En términos de invariantes espectrales, el gradiente de deformación \({\varvec{F}}\) se describe mediante

donde \({\varvec{y}}\) y \({\varvec{x}}\) denotan, respectivamente, los vectores de posición de una partícula de cuerpo sólido en las configuraciones actual y de referencia (ver Fig. 1); \(\lambda _i\) es un alargamiento principal, \({\varvec{v}}_i\) es un vector propio del tensor de alargamiento izquierdo \({\varvec{V}}= {\varvec{F}}( \lambda _i,{\varvec{v}}_i,{\varvec{v}}_i)\) y \({\varvec{u}}_i\) es un vector propio del tensor de estiramiento a la derecha \({\ varvec{U}}= {\varvec{F}}(\lambda _i,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i)\). Tenga en cuenta que el tensor derecho de Cauchy-Green \({\varvec{C}}= {\varvec{F}}(\lambda _i^2,{\varvec{u}}_i,{\varvec{u}}_i) \) y el tensor de rotación \({\varvec{R}}= {\varvec{F}}(\lambda _i=1,{\varvec{v}}_i,{\varvec{u}}_i)\) , donde \({\varvec{F}}={\varvec{R}}{\varvec{U}}\). Solo consideramos sólidos elásticos incompresibles, donde \(\det {\varvec{F}}=1\), \(\det\) indica el determinante de un tensor y el efecto de las fuerzas del cuerpo se supone insignificante. La convención de suma no se usa aquí.

Para modelar la cinemática de las fibras incrustadas, asumimos el cuerpo, considerado como un continuo homogeneizado que consta de material de matriz y fibras juntas. Modelamos este material considerando un sólido transversalmente elástico con las direcciones unitarias preferidas \({\varvec{a}}({\varvec{x}})\) en la configuración de referencia y estas direcciones preferidas se convierten en el vector

en la configuración actual, donde \({\varvec{f}}\) es un vector unitario. En nuestro modelo propuesto, la derivada direccional del vector unitario de fibra en la dirección de la fibra, es decir,

juega un papel importante en el modelado de la resistencia elástica debido a los cambios en la curvatura de las fibras. En vista de esto, dotamos de un vector \({\varvec{d}}\) asociado con \({\varvec{c}}\) (aclararemos la asociación más adelante) en (5), que es independiente de \({\varvec{F}}\), es decir, 14,15

dónde

\({\bar{{\varvec{F}}}}({\varvec{x}})\) es el tensor de deformación independiente de \({\varvec{F}}\), es decir, \({\ varvec{d}}\) no está incrustado en la matriz, por lo que en general su imagen \({\bar{{\varvec{F}}}}^{-T}{\varvec{d}}\) en la configuración actual no está directamente relacionada con la deformación de la matriz. Claramente de (6), tenemos \({\varvec{d}}\cdot {\varvec{a}}=0\) (Ver Fig. 2 para la interpretación geométrica). Si hacemos \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\), entonces tenemos la asociación \({\varvec{c}}= {\varvec{F} }^{-T}{\varvec{d}}\)14,15. Para facilitar el proceso de modelado, expresamos el vector

donde \({\varvec{k}}\) es un vector unitario con la propiedad \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{k}}=0\). Para modelar la resistencia elástica debida a cambios en la curvatura de las fibras, asumimos la energía de deformación objetivo

para todo tensor de rotación \({\varvec{Q}}\). Siguiendo, el trabajo de Shariff22,23, W se puede caracterizar por las invariantes espectrales

y el escalador \(\rho\), donde \(\lambda _i\) y \({\varvec{u}}_i\) son, respectivamente, los valores y vectores propios de \({\varvec{U}}\ ). Por lo tanto, podemos expresar

tomando nota de que \({W}_{(a)}\) debe satisfacer la P-propiedad descrita en24 asociada con la coalescencia de tramos principales \(\lambda _i\). En vista de que W debería ser independiente del signo de \({\varvec{a}}\) y \({\varvec{d}}\), expresamos

Significado geométrico de los vectores derivados direccionales: \({\varvec{F}}\ne {\bar{{\varvec{F}}}}\), \({\varvec{a}}\cdot {\varvec{d }}={\varvec{b}}\cdot {\varvec{c}}= {\bar{{\varvec{b}}}}\cdot {\bar{{\varvec{c}}}} = 0 \), \({\bar{{\varvec{b}}}} = {\bar{{\varvec{F}}}}{\varvec{a}}=\iota {\bar{{\varvec{ f}}}}\), y \({\bar{{\varvec{c}}}} = {\displaystyle \frac{\parcial {\bar{{\varvec{f}}}}}{\parcial {\varvec{x}}}}{\varvec{a}}\).

La evaluación de los tensores de tensión requiere espectralmente los componentes del tensor espectral de Lagrangian de \({\displaystyle \frac{\partial W}{\partial {\varvec{C}}}}\), es decir,

Las componentes espectrales eulerianas de la tensión de Cauchy \({\varvec{T}}\) para un cuerpo incompresible con respecto a la base euleriana espectral \(\{ {\varvec{v}}_1,{\varvec{v}} _2,{\varvec{v}}_3\}\) son

En este artículo, siguiendo el trabajo de Shariff22, nominamos una función de energía de deformación prototipo que satisface la propiedad P. Hacemos hincapié en que nuestra función de energía de deformación no lineal propuesta es consistente con la teoría de la elasticidad infinitesimal. Para garantizar esta consistencia, comenzamos la construcción de nuestro prototipo no lineal mediante el desarrollo de su contraparte de energía de tensión infinitesimal.

Antes de construir prototipos de energía de deformación para la deformación por deformación finita, damos una breve descripción de la elasticidad infinitesimal. Cuando el gradiente del campo de desplazamiento \({\varvec{u}}\) es muy pequeño

donde \(\Vert \bullet \Vert\) es una norma apropiada y la magnitud de e es mucho menor que la unidad. Hasta O(e),

donde \({\varvec{E}}\) es la deformación infinitesimal. La forma cuadrática más general de la función de energía de deformación es

dónde

donde \(\mu , \mu _1, \mu _2, \kappa _1, \kappa _2,\kappa _3\) son constantes materiales del estado fundamental y sus limitaciones se indican en el Apéndice A en línea.

Proponemos una función de energía de deformación finita que es consistente con su contraparte infinitesimal. Esto se puede hacer fácilmente, siguiendo el trabajo de Shariff22, extendiendo la función de energía de deformación infinitesimal anterior utilizando deformaciones generalizadas espectrales para deformaciones finitas. La función de energía de deformación propuesta es

dónde

con las propiedades22

También podríamos incluir la siguiente propiedad, cuando corresponda, \(r_\alpha\) para representar medidas de deformación física con los valores extremos de deformación

Fácilmente podríamos extender (21) a (23) para construir una función de energía de deformación más general (ver por ejemplo 22), pero la función de energía de deformación propuesta en la Sección debería ser suficiente para ilustrar nuestro modelo.

Para ilustrar nuestra teoría, consideramos dos deformaciones simples, flexión pura y torsión finita de un cilindro circular recto, donde se conocen sus desplazamientos. Para problemas de valores en la frontera, donde se desconocen los desplazamientos, la construcción de soluciones se describe en el Apéndice B en línea.

Para graficar los resultados en esta sección, por simplicidad, usamos

y los valores del estado fundamental

son los asociados al tejido muscular esquelético10,25. Dado que nuestro modelo es nuevo y no hay valores experimentales para las siguientes constantes de estado fundamental de rigidez a la flexión, usamos los valores ad hoc

para trazar los gráficos. Tenga en cuenta que los valores anteriores satisfacen las restricciones dadas en el Apéndice A.

Doblado de un bloque rectangular en un sector de un tubo cilíndrico.

Considere el problema de flexión pura en deformación plana, representado en la figura 3, en el que una losa rectangular de material incompresible se dobla en un sector de un anillo circular definido por

donde \((r,\theta ,z)\) es la coordenada polar cilíndrica para la configuración actual y \((x_1,x_2,x_3)\) es la coordenada referencial cartesiana con la base \(\{ {\varvec{ g}}_1 , {\varvec{g}}_2, {\varvec{g}}_3 ={\varvec{e}}_z \}\).

La fórmula empleada aquí podría usarse para comparar nuestra teoría con el experimento (por ejemplo, un experimento de prueba de flexión de tres puntos descrito en la referencia 26).

El tensor de deformación tiene la forma

De la condición de incompresibilidad \(\det {\varvec{F}}=1\) y las condiciones de frontera \(\theta (0)=0\) y \(r(A)=a\) obtenemos

donde \(r(B) = b\). Por lo tanto, en vista de (3), (30) y (31), tenemos

y los vectores base espectrales son \({\varvec{u}}_i={\varvec{g}}_i\), \({\varvec{v}}_1={\varvec{e}}_r\), \({\varvec{v}}_2={\varvec{e}}_\theta\) y \({\varvec{v}}_3={\varvec{e}}_z\).

En esta sección estudiamos el caso \({\varvec{a}}={\varvec{g}}_2\), por lo tanto, \(a_1=a_3=0\) y \(a_2=1\). Si hacemos \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\), obtenemos

La función de energía de deformación se simplifica, es decir

Los componentes de tensión de Cauchy distintos de cero simplemente se convierten en

donde \(\sigma _1=\sigma _{rr}\), \(\sigma _2=\sigma _{\theta \theta }\) y \(\sigma _3=\sigma _{zz}\) son cilíndricas componentes de la tensión de Cauchy. Dado que \(\sigma _i\) depende solo de r, la ecuación de equilibrio simplemente se convierte en

Si asumimos que \(\sigma _{rr} = 0\) en \(r = b\), entonces tenemos

Por lo tanto, podemos evaluar

y con la expresión anterior para p obtenemos las relaciones tensión-deformación para \(\sigma _{\theta \theta }\) y \(\sigma _{zz}\). El momento flector \({\mathcal {M}}\), y la fuerza normal \({\mathcal {N}}\), por unidad de longitud en la dirección \(x_3\), y aplicados a una sección de constante \(\theta\), son

En las Figs. 4 y 5, los comportamientos de las tensiones radial y circunferencial, respectivamente, se representan usando \({\displaystyle \frac{\chi }{B}}=1\) y el material se deforma a \({\displaystyle \frac {a}{B}}=1\). Está claro a partir de estas figuras que la magnitud de las tensiones es mayor para un sólido elástico con resistencia a la flexión de las fibras que para un sólido con fibras perfectamente flexibles.

Comportamiento radial de la tensión \(\sigma _{rr}\). (a) Sólido elástico con fibra resistente a la flexión. (b) Sólido elástico sin resistencia a la flexión de las fibras.

Comportamiento radial de la tensión \(\sigma _{\theta \theta }\). (a) Sólido elástico con fibra resistente a la flexión. (b) Sólido elástico sin resistencia a la flexión de las fibras.

Los valores de \({\mathcal {M}}\) para un material con y sin resistencia a la flexión de las fibras son, respectivamente, 46,44514245 kPaM\(^2\) y 35,55851694 kPaM\(^2\). Los valores de \({\mathcal {N}}\) para un material con y sin resistencia a la flexión de las fibras son, respectivamente, 30,58637503 kPaM y 23,29228593 kPaM. Por lo tanto, la rigidez a la flexión aumenta la magnitud de \({\mathcal {M}}\) y \({\mathcal {N}}\).

En esta sección consideramos un espacio anular cilíndrico circular de pared gruesa incompresible con la geometría inicial

donde R, \(\Theta\) y Z son coordenadas polares de referencia con la base correspondiente \(B_R=\{ {\varvec{E}}_R,{\varvec{E}}_\Theta ,{\varvec{E }}_Z\}\). El problema del valor límite ilustrado aquí podría usarse en un experimento (ver, por ejemplo, la referencia 27) para verificar nuestras predicciones teóricas.

La deformación se representa en la Fig. 6 y se describe mediante

donde \(\tau\) es la cantidad de torsión torsional por unidad de longitud deformada y \(\lambda _z\) es el estiramiento axial. En la formulación anterior, r, \(\theta\) y z son coordenadas polares cilíndricas en la configuración deformada con la base correspondiente \(B_C=\{ {\varvec{e}}_r,{\varvec{e}}_ \theta ,{\varvec{e}}_z \}\). Aquí, hemos permitido \({\varvec{e}}_r={\varvec{E}}_R\), \({\varvec{e}}_\theta ={\varvec{E}}_\Theta \) y \({\varvec{e}}_z={\varvec{E}}_Z\). El gradiente de deformación es

donde \(\gamma =r\tau\) y en este artículo, solo consideramos \(\lambda _z \ge 1\). Las direcciones principales lagrangianas son:

dónde

con

En el caso de torsión pura, \(\lambda _z=1\) y tenemos \({\hat{\gamma }}=\gamma\). Los principales estiramientos para una deformación combinada de extensión y torsión son

Torsión y extensión de un cilindro.

En esta sección consideramos el caso cuando \({\varvec{a}}={\varvec{E}}_z\), por lo tanto, \(a_1=0\), \(a_2=s\) y \(a_3 =c\). Si dejamos \({\bar{{\varvec{F}}}}={\varvec{F}}\) y usando

obtenemos

La función de energía de deformación entonces toma la forma

El estrés de Cauchy

En vista de \({\varvec{a}}\equiv [0,0,1]^T\), tenemos \(a_1=0\), \(a_2=s\) y \(a_3=c\ ) y

dónde

La fuerza normal \({\mathcal {N}}\) y el par por unidad de área deformada \({\mathcal {M}}\) aplicados en los extremos del cilindro son los siguientes:

Para eliminar el término de presión hidrostática en (54)\(_1\), usamos la relación de equilibrio

y reformular (54)\(_1\) en la forma

De la Fig. 7 queda claro que, para un estiramiento axial \(\lambda _z=1.5\), requerimos más torque para torcer un cilindro sólido elástico con rigidez de fibra a la flexión.

Torque, \({\mathcal {M}}\) frente a \(\tau\). (a) Sólido elástico con rigidez a la flexión de la fibra. (b) Sólido elástico sin rigidez a la flexión de las fibras. \(\lambda_z=1.5\).

Hemos modelado la resistencia elástica debida a cambios en la curvatura de las fibras sin usar la teoría del segundo gradiente. En vista de esto, el modelo hiperelástico propuesto es simple y no contiene tensiones de par (que se requiere en un segundo modelo de gradiente). Por lo tanto, el modelo propuesto es más realista en el sentido de que un polímero reforzado con fibra de carbono es un material no polar, donde no existen tensiones de acoplamiento. En un futuro próximo se obtendrán soluciones FEM del modelo propuesto y extenderemos este modelo a polímeros que estén reforzados con una familia de dos fibras.

Todos los datos generados o analizados durante este estudio se incluyen en este artículo publicado [y sus archivos de información complementarios].

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Departamento de Matemáticas, Universidad Khalifa de Ciencia y Tecnología, Abu Dhabi, Emiratos Árabes Unidos

Shariff de MHBM

Departamento de Matemática Aplicada a las TIC, ETS de Ingeniería de Sistemas Informáticos, Universidad Politécnica de Madrid, 28031, Madrid, Spain

J. Merodio

Departamento de Ingeniería Mecánica, Universidad de Chile, Beauchef 851, Santiago Centro, Santiago, Chile

R. Bustamante

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MHBMS Redacción-borrador original, Redacción-revisión y edición. Todos los autores revisaron el manuscrito.

Correspondencia a MHBM Shariff.

Los autores declaran no tener conflictos de intereses.

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Reimpresiones y permisos

Shariff, MHBM, Merodio, J. & Bustamante, R. Un modelo de no segundo gradiente para cuerpos elásticos no lineales con rigidez de fibra. Informe científico 13, 6562 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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Recibido: 03 febrero 2023

Aceptado: 17 de abril de 2023

Publicado: 21 abril 2023

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-023-33670-6

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