X rápido

Scientific Reports volumen 12, Número de artículo: 19097 (2022) Citar este artículo

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La tomografía computarizada (TC) de rayos X es una modalidad establecida comercialmente para obtener imágenes de objetos grandes como el equipaje de los pasajeros. CT puede proporcionar la densidad y el número atómico efectivo, que no siempre es suficiente para identificar amenazas como explosivos y narcóticos, ya que pueden tener una composición similar a los plásticos benignos, el vidrio o los metales ligeros. En estos casos, la difracción de rayos X (XRD) puede ser más adecuada para distinguir las amenazas. Desafortunadamente, el flujo de fotones difractados suele ser mucho más débil que el transmitido. Por lo tanto, la medición de datos XRD de calidad es más lenta en comparación con CT, lo que representa un desafío económico para clientes potenciales como los aeropuertos. En este artículo analizamos numéricamente un nuevo diseño de escáner de bajo costo que captura señales CT y XRD simultáneamente y utiliza la menor colimación posible para maximizar el flujo. Para simular un instrumento realista, proponemos un modelo directo que incluye los efectos limitantes de la resolución del espectro policromático, el detector y todos los factores geométricos de tamaño finito. Luego mostramos cómo reconstruir patrones XRD a partir de un gran fantasma con múltiples objetos de difracción. Incluimos una cantidad razonable de ruido de conteo de fotones (estadística de Poisson), así como un sesgo de medición (dispersión incoherente). Nuestra reconstrucción XRD agrega información específica del material, aunque en baja resolución, a la imagen CT ya existente, mejorando así la detección de amenazas. Nuestro modelo teórico se implementa en un software acelerado GPU (Unidad de procesamiento de gráficos) que se puede utilizar para optimizar aún más los diseños de escáner para aplicaciones en seguridad, atención médica y control de calidad de fabricación.

La tomografía computarizada (TC) de rayos X se basa en la medición de la transmisión de rayos X a través de una gran región de interés (ROI), por ejemplo, una maleta en los controles de seguridad del aeropuerto. Después de realizar esta medición desde múltiples ángulos, es posible reconstruir matemáticamente la densidad 3D del objeto. Con CT multienergía, también podemos inferir la composición promedio (número atómico efectivo) en 3D. Desafortunadamente para las aplicaciones de seguridad, la densidad y el número atómico de los materiales peligrosos (drogas, explosivos) pueden ser muy similares a los de los metales, cerámicas y plásticos inofensivos. Se puede medir una huella dactilar de un material mucho más específico mediante difracción de rayos X (XRD). Es muy sensible a la disposición espacial de los átomos, que es muy distinta en miles de materiales diferentes. XRD es especialmente adecuado para identificar cristales, ya que su estructura periódica da lugar a picos de difracción muy definidos. Esto es ventajoso para los controles de seguridad, ya que muchas amenazas son, de hecho, cristales, polvos cristalinos o materiales compuestos semicristalinos (metanfetamina cristalina, cocaína y explosivos comunes como TNT y RDX).

La capacidad de identificar un material depende de la resolución del patrón de difracción reconstruido. La resolución se puede aumentar con colimación estrecha, tanto espacialmente como en términos de espectro de energía de rayos X. La desventaja de la colimación es la pérdida de flujo de fotones1, que luego requiere largos tiempos de medición para compensar. Por lo tanto, una compensación razonable entre resolución y flujo es clave para un escáner económicamente viable. También está la consideración de la resolución espacial, pero eso es menos importante para las aplicaciones de seguridad donde el objetivo es detectar las amenazas más atroces como una maleta cargada con libras de un explosivo o una droga. Pequeñas cantidades de amenazas, o una multitud de amenazas diminutas diferentes dentro de la misma maleta, está más allá del alcance de esta investigación. Por lo tanto, centramos nuestra atención en la resolución del patrón de difracción, en lugar de la resolución espacial, a menos que se indique explícitamente lo contrario.

En la Ref.2 se describe un ejemplo de buena resolución obtenida en un entorno real de seguridad aeroportuaria. Su flujo de trabajo consta de dos máquinas: primero, una tomografía computarizada (TC) para marcar posibles objetos amenazantes, y luego una segunda pasada a través de un difractómetro de rayos X para proporcionar una firma de material más específica. Para medir el patrón XRD de un objeto a alta resolución, los autores restringieron la apertura del haz de rayos X a una forma de lápiz delgado, y agregaron colimadores frente a su detector para que acepte solo un rango estrecho de ángulos de dispersión. Utilizando un tubo de rayos X que funciona a 1,6 kW, los autores escanearon 4182 artículos de equipaje de pasajeros en el transcurso de 53 días, o 3 o 4 artículos por hora. Un sistema similar de dos etapas, XRD 3500, se ha implementado comercialmente en varios aeropuertos3. Además, Halo technologies4 ha patentado otro diseño que utiliza una fuente de haz cónico. A pesar de estas primeras historias de éxito, se necesitan más mejoras en la velocidad, el costo y la precisión para que la tomografía XRD se adopte en la aviación comercial a gran escala.

La vía principal para aumentar el flujo de fotones es reducir la cantidad de colimación, aunque eso conduce a una pérdida de resolución del patrón de difracción medido. La resolución se puede recuperar parcialmente utilizando técnicas computacionales, que combinan datos de difracción tomados a diferentes energías de rayos X y desde múltiples posiciones de fuente-detector con respecto a la región de interés (ROI). Se han empleado una variedad de enfoques matemáticos y estadísticos para reconstruir patrones XRD. Por ejemplo, en el caso de recuentos de fotones muy bajos que se requieren para las imágenes médicas de mama, Ref.5 ha demostrado que la maximización de la probabilidad de Poisson brinda una calidad de reconstrucción XRD superior, en comparación con la retroproyección filtrada (FBP), cuya principal ventaja a su vez es computacional. velocidad6.

Para las imágenes XRD, al menos cierta cantidad de colimación parece ser inevitable, y en la literatura se han discutido varias opciones, que incluyen delimitación, aperturas codificadas y combinaciones de las mismas. Ref.7 ha utilizado una geometría de haz de abanico, junto con detectores colimados perpendicularmente al plano del abanico. Esta geometría a veces se denomina "XRD-CT de tercera generación" y se ha verificado experimentalmente en la Ref.8. La reconstrucción de un corte da como resultado una imagen \((1+2)\)-dimensional, es decir, el patrón de difracción unidimensional se resuelve en un plano bidimensional. Este sistema ha sido patentado, ver Ref.9.

Se han demostrado velocidades de tomografía XRD razonables incluso con fuentes delgadas de haz de lápiz, especialmente si utilizan el espectro policromático completo y una apertura codificada bastante abierta frente al detector, consulte la Ref.10. En la Ref.11, los autores incluso usaron un haz de lápiz monocromático, pero el bajo flujo se compensó al combinar las reconstrucciones de CT y XRD en un solo algoritmo de conservación de bordes y obligar a que los patrones de difracción sean constantes para cada objeto en el fantasma. En un estudio posterior, Ref.12, los mismos autores utilizaron una apertura codificada en lugar de colimadores detectores, lo que aumentó el flujo, pero disminuyó la resolución. Para mantener una resolución aceptable, los autores han enfatizado la importancia de la segmentación de la imagen, así como el uso de información de TC de múltiples energías para explicar mejor la atenuación a lo largo de las rutas del haz difractado.

En la Ref.13, los autores midieron simultáneamente las señales CT y XRD, utilizando un haz de abanico policromático. El detector de resolución de energía se colimó para aumentar la resolución, a expensas del flujo. Los patrones XRD reconstruidos tienen una calidad razonablemente alta, aunque el documento no menciona el tiempo de medición necesario.

Se puede lograr un flujo aún mayor reemplazando los colimadores del detector con una apertura codificada, Ref.14. Este estudio solo ha utilizado dos vistas por escaneo (tomografía instantánea) y ha obtenido imágenes de un solo vial de agua. Alternativamente, el tiempo de generación de imágenes se puede reducir en un factor de 6, si la difracción solo necesita reconstruirse a partir de una pequeña región del corte iluminado, consulte la Ref.15. Estos ejemplos con agua muestran que la tomografía XRD es factible no solo para materiales cristalinos, sino también para líquidos. En la Ref.16, los autores han reconstruido los patrones de difracción de un fantasma que contiene agua, grasa, colágeno y fosfato tricálcico (un sustituto del hueso). Estos materiales inspirados en la biología son amorfos en lugar de cristalinos, por lo que sus patrones de difracción son bastante suaves. Sin embargo, la reconstrucción XRD pudo distinguir claramente entre ellos.

Se utilizó otro tipo de apertura, un interferómetro de rejilla, para medir la imagen de campo oscuro basada en la transmisión de rayos X duros17. Las características con una sección transversal de dispersión más alta (huesos) se muestran más brillantes que los dispersores débiles (carne), en comparación con una radiografía estándar. A expensas del flujo, la calidad de la imagen mejoró con respecto a la TC, pero los resultados no son tan específicos del material como los de XRD.

Las nuevas modalidades de imágenes de tomografía XRD han sido posibles gracias a las continuas mejoras en las tecnologías de tubos de rayos X18, así como a la creciente disponibilidad de detectores pixelados y de resolución de energía19. Para la detección de explosivos, Ref.20 ofrece una introducción detallada sobre la tomografía computarizada de dispersión coherente, la tomografía de difracción de rayos X de energía dispersiva, así como las imágenes de retrodispersión de Compton. Cuando se analizan las perspectivas futuras, la Ref. 21 apunta a las fuentes de rayos X multifoco (MFXS), donde un solo haz de electrones se desvía a múltiples ánodos, lo que evita la necesidad de piezas móviles, lo que debería ayudar a aumentar las velocidades de exploración y reducir el mantenimiento. costos Reference22 muestra la importancia de la resolución de energía del detector. Caracterizaron su detector de CdTe y descubrieron que su sensibilidad energética relativa es de alrededor del 6 % con una transferencia de momento de 2,5 nm\(^{-1}\). Los detectores de energía múltiple se están desarrollando activamente, por ejemplo, para que sean viables en caso de un flujo de fotones alto que puede ser un problema para la transmisión CT23. Mientras que la TC de transmisión opera en el rango de alta energía de 30 a 180 keV, la tomografía de difracción se beneficiaría de energías más bajas que dan como resultado un mayor espaciado de los picos de difracción y, por lo tanto, permiten una resolución más alta del patrón de difracción. Además, no hay riesgo de saturar los detectores XRD con alto flujo. En cambio, una mejor resolución de energía sería muy bienvenida, ya que afecta directamente la calidad de la reconstrucción XRD.

Las instalaciones de sincrotrón dedicadas utilizan de forma rutinaria la tomografía XRD para obtener mediciones de muy alta resolución de varias muestras, por ejemplo, granos de policristal, consulte la Ref.24. Dicha calidad es posible gracias al muy alto flujo y la colimación intrínseca de los haces de rayos X de sincrontrón. Se puede lograr un enfoque adicional con óptica de rayos X, como lentes refractivos compuestos (CRL) o espejos Kirkpatrick-Baez (KB), pero todos requieren alto vacío y mucho espacio, \({\mathcal{O}}(10 \,{\text{m}})\), que no están fácilmente disponibles en la configuración de seguridad del aeropuerto. La microtomografía XRD puede revelar patrones de difracción resueltos espacialmente de varios materiales de ingeniería, por ejemplo, hormigón, consulte la Ref.25. La resolución de su medición es excelente tanto espacialmente como a lo largo del eje del patrón de difracción. Sin embargo, utilizó un acelerador de partículas muy caro (una instalación de sincrotrón) y aún así la adquisición ha durado 8 h.

Hasta el momento, la tomografía XRD no se ha adoptado comercialmente a gran escala en entornos de seguridad. Los principales obstáculos son el tiempo y el costo de las imágenes. Sin embargo, las imágenes XRD son una búsqueda que vale la pena debido a su capacidad única para distinguir materiales con una especificidad mucho mayor que cualquier otra modalidad actualmente en uso. En general, existe una compensación entre la velocidad, el costo y la resolución del sistema. Nuestro objetivo en este artículo teórico es lograr un equilibrio razonable entre estos objetivos contrapuestos y demostrar cómo el diseño general podría ser valioso en la práctica.

En este artículo, presentamos un diseño económicamente prometedor para la tomografía XRD en la seguridad aeroportuaria. Un requisito clave es reducir el tiempo de escaneo XRD para estar a la par con la modalidad CT ya extendida, mientras se mantienen al mínimo los costos de hardware nuevo. Debido a estas limitaciones prácticas, la resolución de los datos XRD será limitada, pero seguirá siendo más informativa que la TC sola. Con imágenes multienergía, la TC puede proporcionar como máximo dos números en cada material, por ejemplo, la densidad y el número atómico efectivo. Si la modalidad XRD es capaz de entregar al menos un parámetro adicional por material, ya conduciría a una mejora significativa en la capacidad de detección de amenazas. Aquí no nos preocupa la velocidad computacional, ya que el precio del hardware de la computadora como GPU (Unidades de procesamiento de gráficos) y los servicios en la nube continúa disminuyendo, mientras que el precio de los componentes de imágenes de rayos X como fuentes y detectores es relativamente fijo. En otras palabras, tenemos la intención de depender en gran medida de la computación, en lugar del costoso hardware de imágenes de alta calidad.

Tomando prestado de algunos de los diseños anteriores, utilizaremos un haz de abanico policromático y un detector de resolución de energía 2D. Una novedad clave es que nuestro detector no tendrá delimitadores, ya sean colimadores o apertura codificada. Hasta donde sabemos, esto da como resultado el flujo más alto posible para la tomografía XRD. Sin embargo, los recuentos de fotones difractados serán muy bajos, lo que abordaremos realizando una segmentación de imágenes en los datos de TC reconstruidos (que, naturalmente, tienen recuentos mucho más altos). El propósito de la segmentación es reducir la cantidad de incógnitas para la reconstrucción XRD, al subdividir la maleta en una pequeña cantidad de materiales distintos. Se implementó una idea similar en la Ref.12, excepto que eliminamos la apertura codificada, usamos una mayor cantidad de vistas e instalamos más píxeles detectores.

Una maleta se iluminará rebanada por rebanada (en 2D), mientras viaja en una cinta transportadora a través del plano de imágenes. El flujo de trabajo computacional es el siguiente:

Realice la reconstrucción de tomografía computarizada de múltiples energías (MECT) utilizando datos de transmisión de rayos X. Este paso es muy utilizado en aeropuertos y está disponible en tiempo real, ver por ejemplo Ref.26.

Aplicar segmentación de imágenes para identificar objetos significativos. Este paso también es muy utilizado, véase un artículo de revisión en Ref.27. Además, si varios objetos en la misma maleta tienen la misma densidad y número atómico, podemos suponer que están hechos del mismo material, lo que reduce aún más la cantidad de incógnitas para la reconstrucción XRD. Las incógnitas son los patrones de difracción de cada material único en la imagen segmentada.

Utilizando la atenuación de rayos X resuelta espacialmente de MECT, así como el conocimiento completo de la geometría del escáner y las propiedades espectrales, construya un modelo directo para la señal XRD esperada. Este paso es el enfoque clave de este artículo y se presenta en la siguiente sección.

Reconstruya la imagen XRD, es decir, encuentre el patrón de difracción de cada material que sea más consistente con los datos observados.

Compare los patrones de difracción reconstruidos con la base de datos de amenazas conocidas y materiales benignos. Hay varias bases de datos disponibles para una amplia gama de materiales, incluido el Centro internacional de datos de difracción (ICDD), la base de datos de estructuras cristalinas inorgánicas y la base de datos abierta de cristalografía (COD). Si el patrón de difracción reconstruido es consistente con cualquiera de los materiales de amenaza conocidos, la maleta se marca para una inspección completa, como una búsqueda manual. Se pueden proporcionar entradas distintas de XRD para su consideración (p. ej., el tamaño y la forma de los objetos), así como cualquier otra información sobre el pasajero, el vuelo, etc. disponible para el operador de seguridad.

La novedad de este artículo es un modelo avanzado detallado de la formación de imágenes XRD, que es el Paso 3 del flujo de trabajo general de imágenes. Suponemos que la Transmisión (Paso 1) y la Segmentación (Paso 2) ya se han implementado. Además, asumimos que se conocen todos los parámetros relevantes del instrumento (geometría, espectro de fuente, respuesta del detector, etc.). En este artículo, todas las entradas se conocen exactamente, mientras que con un escáner real habrá algunas imperfecciones, lo que resultará en una degradación de la calidad XRD. Es una práctica común aplicar varias correcciones (basadas en software y hardware), así como procedimientos de calibración que mitigan las imperfecciones. Está más allá del alcance de este artículo evaluar cómo todos estos efectos pueden afectar la calidad de la reconstrucción XRD.

La reconstrucción y la toma de huellas dactilares (pasos 4 y 5) también son etapas cruciales en nuestro flujo de trabajo de detección de amenazas y requieren más trabajo, sobre todo recopilando una gran base de datos de materiales que se encuentran en las maletas, así como posibles amenazas. En este artículo solo abordamos brevemente estos dos temas, lo suficiente para mostrar que, en principio, la detección de amenazas con nuestro diseño es posible. Se necesita más esfuerzo en el dominio del procesamiento posterior para aumentar el atractivo comercial del escáner.

El punto de partida de nuestro modelo directo XRD se muestra en la Fig. 1. La resolución espacial en este ejemplo es \(200\times 200\) píxeles (será variable en realidad, depende de las capacidades de MECT). La fuente y el detector giran alrededor de esta región de interés (ROI) como se muestra en la Fig. 2, aunque también se pueden acomodar arreglos más complejos como MFXS. En este artículo solo usamos un solo corte 2D (en un desarrollo futuro, se deben combinar varios cortes para aumentar el recuento de fotones por material). El corte se define por el grosor de la cuña iluminada (ver Fig. 3), que es distinto de cero, por lo que los "píxeles" 2D se denominarán de ahora en adelante vóxeles, aunque haya una sola capa de ellos.

Un prototipo de imagen de tomografía XRD. Mostramos un corte en 2D de un fantasma de maleta que suponemos que (1) se reconstruyó con MECT, (2) se segmentó en objetos significativos y (3) se agrupó en distintos materiales. Usando esta información y una señal XRD ruidosa simulada, reconstruimos los patrones de difracción para cada material desconocido y los comparamos con una base de datos de materiales conocidos. Por lo tanto, una imagen de tomografía XRD es geométricamente igual que MECT, pero con una leyenda más rica que asigna materiales específicos a cada objeto, que se muestra aquí con la barra de colores. La imagen aumentada por XRD es más informativa que solo la densidad y el número atómico efectivo disponible del MECT estándar.

La vista superior de la geometría de dispersión. Los símbolos en la figura son: \({\textbf{a}} = \hbox{vector de fuente a vóxel}\), \(b = \hbox{vector de vóxel a detector}\), \(\ Delta x\) y \(\Delta y\) son las dimensiones del vóxel en el plano horizontal. El plano del ánodo que emite fotones de rayos X está orientado a lo largo del vector unitario \({\hat{\textbf{n}}}\), mientras que la superficie del píxel del detector está dada por el área de la superficie orientada \({\textbf{A }}\) en unidades de mm\(^2\). El ROI es fijo mientras el conjunto fuente-detector gira en sentido contrario a las agujas del reloj y registra datos en \({\text{SRC}}=32\) ángulos discretos.

La vista lateral de la geometría de dispersión. Los símbolos en la figura son: \({\textbf{a}} = \hbox{vector de fuente a vóxel}\), \(b= \hbox{vector de vóxel a detector}\), \(\ Delta z\) es el grosor del vóxel a lo largo del eje del túnel (z), \(\Delta y\) es el ancho en el plano del vóxel. El plano del ánodo que emite fotones de rayos X está orientado a lo largo del vector unitario \({\hat{\textbf{n}}}\), mientras que la superficie del píxel del detector está dada por el área de la superficie orientada \({\textbf{A }}\) en unidades de \(\hbox{mm}^2\). Se muestra la primera fila del panel detector de difracción, con su posición central a una altura \(z_0\) por encima del plano de la fuente. Una figura similar está disponible en Ref.12, con una diferencia clave que son sus colimadores de dispersión 1D que eliminamos por completo.

Un escaneo XRD consta de un total de \(M = {\text{SRC}}*{\text{COL}}*{\text{ROW}}*{\text{NRG}}\) medidas, que etiquetamos con un índice continuo \(m=1,2,\ldots,M\). En este artículo mostraremos un ejemplo con \({\text{SRC}} = 32\) posiciones de origen (ángulos de visión), \({\text{COL}} = 1024\) columnas de detectores, \({\text {ROW}} = 1\) filas de detectores y \({\text{NRG}} = 64\) canales de energía. La reconstrucción MECT proporciona el coeficiente de atenuación de rayos X en función de la energía \(\mu (E)\) en cada uno de los vóxeles de la Fig. 1. Las únicas incógnitas que solicitamos de un escaneo XRD son los valores del patrón de difracción en función de la transferencia del vector de onda. En total, hay \(K = {\text{NWT}}*{\text{MAT}}\) incógnitas, donde \({\text{NWT}} = 256\) es el número elegido de puntos de cuadrícula de transferencia de vector de onda , y \({\text{MAT}} = 3\) es el número de materiales en el fantasma. Las incógnitas individuales también se etiquetan con un índice continuo \(k=1,2,\ldots,K\). La relación entre el número medido de fotones \({\textbf{N}} = N(m)\) y las incógnitas \({\textbf{F}} = F(k)\) es lineal (ver Ref.12 ) y se puede expresar en forma estándar de multiplicación de matrices con un vector columna:

Las dimensiones de la matriz modelo \({\mathbb{A}}\) son [M, K], o \(1.6\times 10^9\) elementos en total. Cada uno de estos elementos, a su vez, contiene contribuciones de cada vía de dispersión posible, que es el número de vóxeles multiplicado por el número de canales de energía, o \(2,56\times 10^6\). Por último, la probabilidad de cada vía de dispersión se pondera por la probabilidad de supervivencia del fotón debido a la atenuación, que es una línea integral a través del fantasma, de una longitud máxima \(200\sqrt{2}\), dividida por el tamaño de paso elegido, que en nuestro caso es 0,25 de un píxel. El gran total supera \(10^{18}\) (un quintillón) de operaciones matemáticas. Hemos implementado esta tarea computacionalmente desafiante en GPU utilizando CUDA (Arquitectura de dispositivo unificado de computación). Un tiempo típico para construir la matriz en Titan V es de aproximadamente 1 h, pero puede variar mucho según el tamaño y la resolución del fantasma y el espectro. Hay espacio para una aceleración sustancial mediante el uso de algoritmos más avanzados que los presentados en este documento. Una idea podría ser calcular una serie de integrales de sublínea de una sola vez (un cumsum), en lugar de ejecutar una suma separada para cada integral de línea. Además, el hardware multi-GPU y la computación en la nube se están volviendo muy asequibles y son una gran combinación para nuestro problema, ya que se separa naturalmente en subprocesos paralelos. En cualquier caso, una vez que se conoce la matriz \({\mathbb{A}}\), se puede usar un arsenal completo de solucionadores de álgebra lineal, regularizadores, redes neuronales, etc. (consulte la sección "Discusión") para encontrar la inversa \ ({\textbf{F}} = {\mathbb{A}}^{-1}\cdot {\textbf{N}}\), que revela los patrones de difracción \({\textbf{F}}\), dada la cantidad de fotones \({\textbf{N}}\). En este artículo hemos utilizado el método de Lucy-Richardson, que generalmente funciona bien en caso de un fuerte ruido de Poisson.

Para cada medición de difracción m, necesitamos sumar las probabilidades de todas las formas posibles en que un fotón podría haber viajado desde la fuente hasta el detector. Debido a que la fuente emite un haz de abanico ancho, los fotones pueden alcanzar cualquier vóxel dentro del corte fantasma iluminado, y desde allí pueden difractarse y alcanzar cualquiera de los píxeles del detector. El fantasma es grande, por lo que es fundamental tener en cuenta la atenuación de rayos X en los tramos de fuente a vóxel y de vóxel a detector (los coeficientes de atenuación se conocen a partir de MECT). Además, el haz es policromático y el detector es sensible a la energía, por lo que debemos sumar las probabilidades sobre todo el espectro de la fuente y la respuesta del detector a ese espectro. Matemáticamente, este párrafo se puede resumir como una suma de todos los vóxeles y canales de energía de origen:

Más detalladamente, los factores son:

El factor geométrico G incluye trigonometría, ángulos sólidos, etc. Lo calculamos en las secciones "Trayectoria de la fuente" y "Geometría de dispersión".

Espectro de fuente y respuesta del detector \(\eta\), detallado en la sección "Espectro de energía y respuesta del detector".

La probabilidad de supervivencia del fotón entrante \(P_{{\text{in}}}\) desde la fuente al vóxel, y la probabilidad de supervivencia del fotón saliente \(P_{{\text{out}}}\) del vóxel al el detector Ambos dependen de la atenuación de rayos X \(\mu (E)\) que se conoce a partir de una reconstrucción MECT anterior y mostramos cómo calcularlos en la sección "Atenuación del haz".

Sección transversal de dispersión diferencial por unidad de volumen F(k) (depende del material y de una combinación de energía de rayos X, así como del ángulo de dispersión). En la sección "Patrones de difracción", mostramos cómo usar los patrones de difracción que se encuentran en la literatura para generar la verdad básica en nuestro flujo de trabajo de imágenes.

El último factor es la sección transversal de dispersión diferencial F(k), que es la columna de incógnitas a los efectos de la reconstrucción XRD. Sin embargo, también necesitaremos simular datos de medición reales en el terreno, en cuyo caso se conoce F(k) y se asocia con cada uno de los materiales que elegimos agregar a nuestro fantasma. Notamos que para materiales más simples como polvos cristalinos puros, la sección transversal de dispersión diferencial es proporcional al factor de estructura del material, hasta una constante multiplicativa (que involucra la densidad, el radio electrónico de Thomson, etc.). En general, para los materiales compuestos que se encuentran en los explosivos modernos, la sección transversal de dispersión diferencial es una mezcla de varios factores de estructura molecular, que también pueden interferir de forma no lineal. Tratar de resolver los factores de estructura molecular de varios componentes que componen los explosivos está más allá del alcance de este artículo y, en cambio, nos ceñiremos a la sección transversal de dispersión diferencial que caracteriza al material como un todo.

Como veremos en "Patrones de difracción", los patrones de difracción de los cristales típicos tienen picos muy definidos, que cambian rápidamente en un solo vóxel y en un solo canal de energía. Una solución ingenua sería usar rejillas más finas para el fantasma y el espectro, pero eso tiene un costo prohibitivo ya que incluso con el modelo aproximado actual ya estamos en \(10^{18}\) operaciones. Además, necesitaríamos subdividir los píxeles del detector, así como el punto focal de la fuente, en áreas más pequeñas, lo que haría que el cálculo fuera prácticamente inviable. Nuestra solución a esta "maldición de la dimensionalidad" es manchar el patrón de difracción de alta resolución con un filtro de paso bajo que tiene el ancho de cada vía de difracción gruesa, antes de ejecutar la ecuación. (2). La sección "Una ruta de dispersión pequeña, pero finita" muestra cómo calcular el ancho de cualquier ruta dada. Por último, la sección "El proyector directo y la matriz del modelo" muestra cómo factorizar las incógnitas F(k), intersecando el ancho de la ruta de difracción con el ancho del contenedor de reconstrucción, aislando así los coeficientes de la matriz \({\mathbb{A} }(m,k)\).

La sección final "Fondo de dispersión de Compton" analiza una fuente conocida de sesgo, específicamente la dispersión de Compton incoherente. Es posible estimar y corregir este sesgo, que de otro modo degradaría la calidad de la reconstrucción XRD.

Los escáneres de seguridad pueden utilizar un conjunto de fuente-detector giratorio o una disposición de fuente multifocal estacionaria (MFXS), por ejemplo, un polígono irregular inscrito dentro del espacio disponible del túnel. Nuestro modelo teórico se puede adaptar a cualquiera de las opciones. En este artículo, solo consideramos una fuente giratoria, que tiene una trayectoria circular. Asimismo, el detector también puede tener forma irregular o curva, pero aquí solo mostramos un ejemplo con un detector de panel plano. La región de interés (ROI) es un cuadrado de tamaño \(L_x = L_y = {200}\,\hbox{mm}\). Suponemos que el fantasma tiene una composición constante a lo largo del tercer eje \({\hat{\textbf{z}}} = {\textbf{z}}/|{\textbf{z}}|\) (vector unitario), lo cual se justifica si el haz del abanico iluminado es más delgado que los objetos del fantasma. Por conveniencia computacional, el origen del sistema de coordenadas cartesianas se elige en la esquina inferior izquierda del ROI. El plano en el que gira la fuente define el origen del eje z. La trayectoria de la fuente viene dada por

donde \(\rho _{{\text{src}}} = 150\,\hbox{mm}\) es la distancia desde la fuente hasta la mitad del ROI y \(\alpha = 2\pi ({\ text{src}}/{\text{SRC}})\) es el ángulo de visión, con \({\text{src}} = 0,1,\ldots ,({\text{SRC}}-1) \) siendo el índice de origen. La trayectoria del detector viene dada por

donde \(c = ({\text{col}} - {\text{COL}}/2 + 0.5)*({\text{column pitch}})\) es la posición de la columna del detector con respecto a la rayo central El radio de la trayectoria del detector es \(\rho _{\mathrm{\text{det}}} = 170\,\hbox{mm}\). En este trabajo se elige que el paso de la columna del detector sea de 0,5 mm, mientras que la altura de la primera fila del detector es \(z_0 = 10\,\hbox{mm}\) (ver Fig. 3). Este desplazamiento es necesario porque en realidad, debido al tamaño finito de la fuente, una pequeña fracción del haz transmitido puede sobresalir por encima del plano \(z=0\), por lo que la primera fila debe ser lo suficientemente alta para evitarlo. Al mismo tiempo, los detectores de difracción deben estar lo más cerca posible del haz directo, para capturar los ángulos de dispersión más pequeños donde a menudo se pueden encontrar muchos picos XRD.

El vector normal al área de la superficie del detector viene dado por

mientras que el área superficial de la fuente (el ánodo) es perpendicular a

donde \(\beta = {30}^\circ\) es la inclinación del plano del ánodo.

El factor de geometría G en la ecuación. (2) se compone de los siguientes términos:

Existe un factor de este tipo para cada vía de dispersión, que es un triángulo entre la fuente, el vóxel y el detector, como se muestra en las Figs. 2 y 3. El vector de fuente a vóxel es \({\textbf{a}}\) y el vector de vóxel a detector es \({\textbf{b}}\). El área en el plano del vóxel \(\Delta x\Delta y\) está determinada por la resolución espacial de la reconstrucción MECT anterior. En este trabajo asumimos que la imagen MECT está disponible y tiene una resolución de \(\Delta x = \Delta y =1\,\hbox{mm}\).

El volumen iluminado (ver área gris en la Fig. 3) tiene la forma de una cuña y está controlado por la apertura del tope de haz. La parte superior de la cuña iluminada se establece en \(\varphi _1 = {0}^\circ\), mientras que la parte inferior está inclinada en un ángulo \(\varphi _2 = {-0.5}^\circ\) (ambos sintonizables ajustes). El grosor de un vóxel particular es así

donde \(a_x\) y \(a_y\) son las coordenadas cartesianas en el plano del vector fuente a vóxel \({\textbf{a}}\). La posición de la mitad del vóxel a lo largo del eje z es:

Esta posición se usa para calcular los componentes z de \({\textbf{a}}\) y \({\textbf{b}}\). La longitud del cuadrado inverso \(|{\textbf{a}}|^{-2}\) representa la fluencia de fotones (número de fotones por área de superficie) en la ubicación del vóxel. Observe que el grosor del vóxel, Eq. (8), aumenta linealmente con la distancia de fuente a vóxel. Junto con el factor de fluencia \(|{\textbf{a}}|^{-2}\), el número de fotones difractados disminuye como \(|{\textbf{a}}| ^{-1}\) .

El ángulo entre los dos catetos es \(\cos \theta = {\hat{\textbf{a}}} \cdot {\hat{\textbf{b}}}\). Se utiliza para calcular el factor de polarización \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\), que se aplica a fuentes de rayos X no polarizados como los tubos de vacío28. Finalmente, desde el punto de vista del vóxel, un detector de área de superficie orientada \({\textbf{A}}\) subtiende un ángulo sólido

Las unidades totales del factor geométrico G son mm. En esta sección hemos asumido que el fantasma es uniforme sobre un espesor de al menos \(\Delta z\).

La tomografía de transmisión generalmente opera con rayos X duros en el rango de 30 a 180 keV, que tienen una atenuación débil necesaria para penetrar materiales gruesos. La difracción de rayos X, por otro lado, generalmente se realiza en muestras muy pequeñas en un entorno de laboratorio y utiliza rayos X mucho más suaves, por ejemplo, 8,04 keV, que es la línea K-\(\alpha\) de cobre. Para muestras pequeñas, la atenuación del haz no es importante y se prefiere una energía de rayos X más baja, ya que amplía el espaciado de los picos de difracción que se ven en el detector (consulte la Ec. (31)) y, por lo tanto, aumenta la resolución. Nuestro escáner de difracción \(+\) de transmisión combinada debería encontrarse en un término medio entre estos dos extremos.

El espectro óptimo dependerá de la aplicación específica, por lo que en este documento solo elegimos un valor razonable de 80 keV para el voltaje del ánodo y un filtro de aluminio predeterminado de 1 mm para eliminar los fotones de menor energía. Los valores de espectro \(\Phi (E)\) proporcionados por SpekCalc (Fig. 4) se refieren al número de fotones por \(\hbox{cm}^{2}\) a una distancia de referencia \(a_0 = {100 }\,\hbox{cm}\), por contenedor de energía de 1 keV de ancho. El número absoluto de fotones es proporcional al tiempo de exposición que establecemos en 0,1 ms por fuente por segmento z, y a la corriente de la fuente que establecemos en 10 mA, pero esta configuración puede variar enormemente entre diferentes aplicaciones de imágenes XRD. Las características anisotrópicas del espectro, como el efecto de talón, no se consideran en este trabajo, pero serían fáciles de implementar dentro del algoritmo actual.

Simulación de espectro fuente de SpekCalc. El número de fotones es proporcional a la corriente de la fuente y al tiempo de exposición, que hemos supuesto de 10 mA y 0,1 ms, o 1 mC de carga de electrones.

Este espectro de alta resolución nunca se observará con un detector realista sensible a la energía, que tiene una resolución de aproximadamente

como se detalla en estudios experimentales29 y teóricos30. Han pasado bastantes años desde la publicación de estos documentos, por lo que nos hemos tomado la libertad de suponer que la resolución de energía se ha mejorado en un factor de dos, o lo será en un futuro próximo. Discretizamos el espectro a un número razonable de contenedores de energía \({\text{NRG}} = 64\), espaciados equidistantemente entre \(E_{{\text{min}}} = 8\,{\hbox{keV} }\) y \(E_{{\text{max}}} = 80\,{\hbox{keV}}\), con un ancho de bin \(\Delta E = (E_{{\text{max}} } - E_{{\text{min}}})/{\text{NRG}} = 1,125\,\hbox{keV}\), que se encuentra en el extremo inferior del rango de resolución de energía \(\sigma = 0,905 -1.805\,\hbox{keV}\). Los contenedores de energía de la fuente están etiquetados con el índice \({\text{nrgsrc}} = 1,2,\ldots,{\text{NRG}}\), y de manera similar, los contenedores de energía del detector están etiquetados con el índice \({ \text{nrgdet}} = 1,2,\ldots,{\text{NRG}}\). Entonces podemos calcular la eficiencia de capturar un fotón fuente del bin nrgsrc en un detector bin nrgdet:

Los límites de integración (los bordes del contenedor) están dados por

El resultado de la Ec. (12) es un número adimensional de fotones y se muestra en la Fig. 5. En otras palabras, \(\eta (\text{nrgsrc}, \text{nrgdet})\) es la convolución del espectro fuente y el detector resolución, para todos los pares de contenedores. Hemos asumido que la ganancia del detector es uno, aunque en realidad debe calibrarse, píxel por píxel, y los resultados se incorporan a la ecuación. (12).

Convolución de la respuesta del detector con el espectro de la fuente. Debido a la rápida caída desde la diagonal, usamos solo 5 contenedores a la izquierda y a la derecha para sumar sobre el espectro (consulte la ecuación (2)), por lo tanto, 11 términos en total, en lugar de los 64.

El fantasma utilizado en este trabajo se muestra en la Fig. 1 y corresponde al área gris de la Fig. 2. Consta de \((\text{NX}=200) \times (\text{NY} = 200)\ ) vóxeles de tamaño 1 mm\(^2\). Suponemos que se ha realizado una tomografía computarizada multienergía (MECT) para este maniquí, usando los datos del detector de transmisión, vea los detectores de transmisión en la Fig. 3. El resultado de MECT es el coeficiente de atenuación de rayos X en función de la energía en cada punto

del fantasma La referencia 31 muestra que la atenuación de rayos X se puede aproximar bien como la suma de los coeficientes fotoeléctricos (\(a_1\)) y Compton (\(a_2\)):

Las funciones de base de energía están dadas por

donde \(\varepsilon = E/m_ec^2\) es la energía fotónica adimensional (es decir, dividida por la energía en reposo de los electrones \(m_ec^2\)). En este artículo hacemos una suposición optimista de que la reconstrucción MECT es ideal, en cuyo caso los coeficientes para cada material deberían ser los mismos que

Aquí \(n=4,2\) y \(K_1 = 1,047\times 10^{-7}\,\hbox{cm}^{2}/\hbox{mol}\) son parámetros empíricos, mientras que \(K_2 = 2\pi r_e^2 N_A = 0.30\,\hbox{cm}^2/\hbox{mol}\) es el parámetro de Compton que se puede calcular a partir del radio de electrones clásico \(r_e\) y el número de Avogadro \( N / A\). Otros símbolos son:

\(\rho\) es la densidad de masa del material en g/cm\(^{3}\),

\(N_{1,2,\ldots }\) es el número de átomos,

\(Z_{1,2,\ldots }\) es el número atómico, y

\(M_{1,2,\ldots }\) es el peso atómico.

Por ejemplo, la composición química del nitrato de amonio es \(\text{NH}_4\text{NO}_3\), que en nuestra notación es \(Z=[1,7,8]\), \(N= [4,2,3]\), y \(M = [1,00784,\,14,0067,\,15,999]\,\hbox{g mol}^{-1}\).

Las probabilidades de supervivencia de fotones mencionadas en la ecuación. (2) están dadas por:

En la simulación, las integrales de línea se reemplazan por sumas discretas con tamaño de paso \(\Delta r = 0.25\) del tamaño de vóxel (que es nuestra unidad de longitud interna definida como uno, es decir, \(\Delta x = \Delta y = 1\), y todas las demás longitudes son relativas a esta). En general, los puntos de consulta a lo largo de las líneas no coinciden con las ubicaciones de los vóxeles que están en una cuadrícula cartesiana, por lo que buscamos los valores para (\({a}_1({\textbf{r}})\), \({a}_2({\textbf{r}})\)) usando interpolación bilineal, y asuma que son cero fuera de la región de interés (ROI).

La gran mayoría de los estudios XRD informan la intensidad dispersa en unidades arbitrarias. Esto es adecuado para determinar estructuras cristalinas, que pueden deducirse únicamente de las posiciones e intensidades relativas de los picos de difracción. Por otro lado, una consideración clave para un sistema de imágenes XRD es el flujo de fotones, que a su vez depende de las secciones transversales de dispersión en unidades absolutas. Este paso es crucial para diseñar un sistema que logre un equilibrio justo entre el flujo y la precisión de la transferencia del vector de onda q, que se necesita para resolver los picos XRD individuales. Actualmente, la calibración de intensidad es factible experimentalmente solo para un número limitado de situaciones. En particular, las máquinas de dispersión de rayos X de ángulo pequeño (SAXS) a veces se calibran a una escala absoluta, ya que en esa geometría se puede suponer que la esfera de Ewald es plana y el plano del detector se puede adaptar perfectamente a ella. En la dispersión de rayos X de gran angular (WAXS), esta suposición no es aplicable y se requiere una corrección adicional para el ángulo que forma con la tangente de la superficie de la esfera. Debido a esta y otras complicaciones, la mayoría de los autores no intentan calibrar sus datos WAXS, y mucho menos XRD. En la actualidad, existen varios estudios realizados con la misma muestra en máquinas SAXS y WAXS que tienen una superposición en sus rangos q, lo que permite una calibración cruzada sencilla de los dos conjuntos de datos. Los ejemplos disponibles incluyen behenato de plata33, MOF flexibles de NiBpene (estructuras orgánicas de metal)34 y polipropileno isotáctico35,36.

Para materiales generales de interés para la seguridad, la atención médica y la fabricación, la calibración de intensidad XRD absoluta no está fácilmente disponible. No obstante, podemos predecir aproximadamente el nivel de fondo de la dispersión, usando las funciones teóricas de Rayleigh y Compton R(q) y C(q), que están tabuladas para cada átomo de la tabla periódica en la Ref.37. Para materiales que contienen múltiples especies atómicas, la sección transversal de dispersión diferencial por unidad de volumen es:

Aquí \(\rho\) es la densidad de masa, \(N_{1,2,\ldots }\) es el número de una especie atómica dada y \(M_{1,2,\ldots }\) es el átomo peso. El radio clásico del electrón es \(r_e = 2,818\times ^{-15}\,\hbox{m}\), mientras que el número de Avogadro es \(N_A = 6,022\times ^{23}\,\hbox{mol }^{-1}\). Mientras que la contribución de Compton (incoherente) es precisa para todos los materiales, el componente de Rayleigh (coherente) se aplicaría solo si los átomos estuvieran distribuidos al azar en el espacio. En los materiales reales, la estructura atómica está lejos de ser aleatoria, lo que da como resultado picos de interferencia constructivos y valles de interferencia destructivos en el componente de Rayleigh. Aproximadamente, la parte inferior de la señal XRD medida puede llegar tan bajo como la dispersión Compton teórica, mientras que la línea de base de los picos (el punto de inflexión) puede estar aproximadamente donde se encuentra la curva Rayleigh \(+\) Compton teórica. Usando estas reglas generales, hemos ajustado la amplitud de los datos XRD de aluminio como se muestra en la Fig. 6. También pudimos evaluar la validez de nuestra regla general en un caso donde los datos calibrados experimentalmente estaban disponibles (polipropileno isotáctico36 , no se muestra), y las dos curvas estaban dentro del mismo orden de magnitud.

Patrón XRD experimental de una aleación de aluminio32, reescalado por nosotros a una escala absoluta de \(\hbox{cm}^{-1}\) para que coincida aproximadamente con la dispersión teórica sin difracción, compuesta por términos de Compton y Rayleigh. Si los datos XRD experimentales no cubren completamente nuestro rango deseado de 0.5–6Å\(^{-1}\), usamos los datos teóricos para un material no difractante de la misma composición.

Como nota al margen, mencionamos que el factor de polarización \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\) a menudo no se tiene en cuenta en los datos XRD publicados. Dado que los datos a menudo se recopilan utilizando rayos X de baja energía, tenemos que dividirlos por su propio factor de polarización antes de utilizar los datos en nuestras simulaciones. Esta corrección puede ser significativa, hasta un factor de 2, y es importante incluirla porque nuestro escáner de imágenes XRD utiliza rayos X de energía mucho más alta, por lo tanto, los picos de difracción en un valor de q dado aparecen en ángulos de dispersión sustancialmente más pequeños \(\ theta\).

Para calcular la verdad del terreno (proyección hacia adelante), la sección transversal en la ecuación. (2) se obtiene untando los datos XRD de alta resolución con el ancho de la vía de dispersión de la ecuación. (32):

Los patrones de difracción de los cristales de alta calidad suelen tener picos muy definidos y estrechos (ver Fig. 6). Para medirlos, la incertidumbre experimental de la transferencia del vector de onda q debe ser sustancialmente menor que el ancho del pico intrínseco. La resolución q de nuestra configuración de tomografía XRD será bastante baja en comparación con la de los difractómetros de laboratorio dedicados, por lo tanto, nuestros patrones reconstruidos se borrarán. Para cuantificar el smearing, en este capítulo derivamos la fórmula de resolución para una ruta de dispersión realista de tamaño finito, como se muestra en la Fig. 7. La precisión de q está determinada por el tamaño de la fuente y el vóxel, así como por el tamaño y sensibilidad energética del detector.

Una geometría de dispersión típica, definida por los vectores de onda entrantes \({\hat{\textbf{a}}}\) y salientes \({\hat{\textbf{b}}}\). En aras de la generalidad, los dos vectores son desiguales. También mostramos las direcciones principales \({\textbf{S}}\), \({\textbf{V}}\), y \({\textbf{D}}\) que causan la principal incertidumbre \(\ Delta q\) (ver ecuación (32)). Los círculos grandes ilustran las regiones de fuente, vóxel y detector de tamaño finito. Tenga en cuenta que, en general, las tres regiones pueden tener formas no circulares arbitrarias, como se describe en las ecuaciones. (34)–(37). Los puntos específicos dentro de esas regiones están etiquetados con vectores \({\textbf{s}}\), \({\textbf{v}}\) y \({\textbf{d}}\), respectivamente (no se muestra ).

La transferencia de vector de onda promedio para un fotón de energía E, viajando desde el centro de la fuente al centro del vóxel, y luego al centro del detector, está dada por

Aquí \(\hbar c= 1.973\) keV Å es la constante de Planck multiplicada por la velocidad de la luz. Dado que las tres ubicaciones tienen un tamaño finito y el canal de energía tiene un ancho finito, la transferencia del vector de onda de cada vía de difracción tiene una distribución finita alrededor de la media. Aplicamos la regla de la cadena a la Ec. (22) para encontrar el cambio neto:

Aquí hemos usado \(e=\Delta E\) para etiquetar una pequeña diferencia de energía de rayos X con respecto a la media del canal E. En cuanto a la dispersión geométrica, considere un dispersor ubicado en un pequeño vector \({\ textbf{v}}\) lejos del centro del vóxel. Esto cambiará el vector de fuente a vóxel a un nuevo valor

La diferencia de la dirección de la onda entrante es, por lo tanto,

Despreciar los términos de orden superior está bien justificado cuando el tamaño de vóxel v es mucho más pequeño que la distancia de fuente a vóxel a. La expresión linealizada será útil más adelante, en la ecuación. (32), donde calculamos el ancho cuadrático medio de una vía de dispersión. Sería excesivamente costoso calcular el ancho cuadrático medio exacto, ya que implica una integral de 10 dimensiones (energía más tres puntos en 3D), para cada vía de difracción posible.

El siguiente paso en la derivación es permitir que la fuente y el detector también tengan tamaños finitos, descritos por pequeños vectores \({\textbf{s}}\) y \({\textbf{d}}\) que apuntan hacia afuera de sus respectivos centros (los círculos en la Fig. 7). En otras palabras, una vía de dispersión descentrada arbitraria se compone de dos patas modificadas:

Luego generalizamos la Ec. (25) y combínelo con la Ec. (23) para encontrar el cambio completo de la transferencia del vector de onda (con precisión de primer orden en s, v y d):

Para materiales isotrópicos, solo la magnitud del cambio es importante:

Despreciando los términos de orden \((\Delta q)^2\) y superiores, la expresión se convierte en

Aquí hemos definido tres vectores auxiliares

y usó la amplitud de la transferencia media del vector de onda

La cantidad clave para calcular señales de difracción realistas es el ancho cuadrático medio de una vía de dispersión dada:

Contiene cuatro contribuciones, que es el rango de energías, así como tamaños distintos de cero de la fuente, el vóxel y el detector. Para contenedores lo suficientemente pequeños, podemos suponer que la distribución de energía dentro de cada contenedor de energía es constante (uniforme), lo que resulta en

El tamaño de la fuente se refiere a la distribución espacial de los puntos que emiten rayos X. En general, es una función escalar 3D \(\rho ({\textbf{s}})\) (que se supone normalizada \(\int \rho ({\textbf{s}})\; d{\textbf {s}} = 1\)) y el momento relevante para nosotros es

En este artículo no investigamos la forma detallada de \(\rho ({\textbf{s}})\), y en su lugar asumimos un modelo simplificado, a saber, un parche cuadrado plano del área de la superficie del ánodo cuyo vector normal está dado por \({\sombrero{\textbf{n}}}\). En este caso, la ecuación. (33) generaliza a

donde \(\Delta s = 0.5\,\hbox{mm}\) es la longitud lateral del parche rectangular que emite rayos X, también conocido como el punto focal. La misma fórmula también se aplica para el detector, que configuramos como un rectángulo de área de superficie \(|{\textbf{A}}| = 0.5\,\hbox{mm}^2\):

Por último, el vóxel se modela como un paralelepípedo rectangular de densidad uniforme, en cuyo caso la fórmula se generaliza a

Ya tenemos todos los ingredientes para realizar el cálculo del número esperado de fotones, Eq. (2). Para realizar el cálculo inverso, primero tenemos que discretizar el eje q a contenedores de tamaño finito NWT. En general, los contenedores deben ser algo más pequeños que la resolución intrínseca del escáner físico \(\sqrt{\langle \Delta q^2\rangle }\). Es inútil intentar la reconstrucción a una resolución mucho más fina que esa, especialmente porque el tamaño de la matriz y el tiempo computacional ya están tensos y requieren un esfuerzo excesivo para calcular en la práctica. En este proyecto, trabajamos con contenedores de reconstrucción \(\text{NWT} = 256\), espaciados de manera desigual para seguir aproximadamente el comportamiento natural de \(\sqrt{\langle \Delta q^2\rangle }\). Además, para acelerar los cálculos, establecemos la señal de difracción en cero fuera del rango \(q_{\text{min}} = 0.5\) Å−1 y \(q_{\text{max}} = {6.0} \) Å−1 tanto en problemas directos como inversos. En realidad, una pequeña cantidad de fotones difractados puede llegar al detector más allá de este rango, y podríamos abordarlo como un sesgo de fondo general como se muestra en la ecuación. (1), pero esto está más allá del alcance del presente trabajo. Definimos el borde izquierdo de nuestro contenedor de reconstrucción nwt como

donde \(dq_0 = 0.01\) Å−1 es el ancho del primer contenedor. El borde derecho \(q_{\text{right}}(\text{nwt})\) es el mismo pero con \(\hbox{nwt}+1\) en lugar de nwt. El vector de onda promedio del bin es

El (m,k)-ésimo elemento de la matriz \({\mathbb{A}}\) es la suma de las intersecciones del contenedor de reconstrucción y cada ruta física, a saber

Observe cómo la ecuación anterior contiene todos los aspectos de la exploración, excepto el patrón de difracción F. Para verificar la validez de la matriz, podemos multiplicarla con un vector de columna (consulte la Ec. (1)) hecho de dispersión cruzada promediada por intervalos. secciones:

Los recuentos de fotones resultantes N(m) están cerca de lo que obtenemos de la sumatoria directa de la verdad del terreno (ecuación (2)), con pequeñas diferencias debido al tamaño finito de la discretización (no se muestra).

Puede haber muchas fuentes de sesgo en la ecuación. eqrefmatrixproduct, debido a una instrumentación imperfecta (detector borroso, retraso), así como a fenómenos secundarios de rayos X como la dispersión. Aquí consideramos el sesgo debido a la dispersión incoherente (Compton), que puede volverse significativa a energías y ángulos de dispersión más altos. Solo se necesita una pequeña adición a nuestro cálculo XRD descrito anteriormente para obtener también la señal Compton de dispersión única. La dispersión múltiple (coherente, incoherente y combinaciones de las mismas) está más allá del alcance de este trabajo, aunque se han informado algunos avances en la literatura en el contexto de la tomografía XRD38. El número de fotones dispersos por Compton se calcula de manera similar a la ecuación. (2), excepto que la sección transversal de dispersión F se reemplaza por la interpolada de las tablas de Hubbell, ver Fig. 8. Depende de los coeficientes fotoeléctrico y Compton \(a_1\) y \(a_2\) de cada material, que ya hemos asumido estará disponible desde la transmisión MECT. También vemos que la sección transversal de dispersión incoherente varía suavemente con q, por lo tanto, no necesitamos promediarla previamente (es decir, podemos suponer que es constante en el ancho de la vía de dispersión \(\sqrt{\langle ( \Delta q)^2 \rangle }\)). Sin embargo, tenga en cuenta que la dispersión de Compton es inelástica, lo que significa que el electrón se lleva parte del impulso, lo que cambia la transferencia del vector de onda del fotón:

La ecuación anterior está en unidades adimensionales y se usa para obtener datos de sección transversal tabulados como se muestra en la Fig. 8. El símbolo \(\epsilon\) es la abreviatura de

que también se utiliza para calcular la energía del fotón saliente:

Aplicamos la ecuación anterior al borde izquierdo y derecho del contenedor de energía de fotones de la fuente entrante, lo que da como resultado los dos bordes de la banda de energía saliente, \(E_{\text{out1}}\) y \(E_{\text {salida2}}\). Luego superponemos este rango con el rango del canal de energía del detector:

El peso de superposición adimensional anterior se multiplica con todos los términos que ingresan a la suma en la ecuación. (2). En otras palabras, realizamos acumulación con interpolación lineal. También es posible un enfoque más simple del vecino más cercano, pero dado que nuestro código de suma XRD ya tiene todos los canales de energía del detector, también reutilizamos la estructura del programa para Compton. Por último, para la dispersión de Compton, el factor de polarización en la ecuación. (7) tiene que ser reemplazada por la función de Klein-Nishina:

donde \(\epsilon = E_{\text{in}}/E_{\text{out}}\ge 1\) es la relación entre las energías entrantes y salientes. En el límite de energía pequeña y/o ángulo de dispersión, el factor de Klein-Nishina se reduce al factor de polarización \(\left( 1+\cos ^2\theta \right) /2\).

El mapa de la salida MECT (\(a_1\), \(a_2\)) a la sección transversal de dispersión de Compton. La transferencia del vector de onda se expresa en unidades adimensionales \(q\hbar /mc/2\). Ambas entradas están en el eje logarítmico de base 2 para una búsqueda más rápida utilizando una cuadrícula regular de 64x64 (derecha), obtenida interpolando los datos espaciados irregularmente de Hubbell (izquierda), disponibles en Ref.37. La tabla de búsqueda está normalizada en el rango [0, 255], por lo que se puede almacenar como números enteros de 8 bits para reducir el uso crítico de la memoria compartida.

Nuestro fantasma de ejemplo (Fig. 1) contiene tres cuerpos grandes hechos de celulosa de baja densidad (similar a la ropa), y envueltos dentro tenemos algunos objetos difractantes, uno benigno (aleación de aluminio) y dos amenazas (ambos nitrato de amonio). Todos los objetos son bastante grandes y redondos, por lo que la transmisión de datos MECT debería ser muy buena, lo que permite una segmentación precisa de la imagen, que suponemos conocida. La verdad del terreno se obtiene digitalizando datos XRD medidos experimentalmente de alta resolución disponibles en la literatura. También requerimos la densidad y composición química de cada material para simular la atenuación (ver la sección "Atenuación del haz"). Hemos utilizado estas fuentes bibliográficas:

La celulosa se toma de la Ref.39 y asumimos que la densidad de 0,1 g/cm\(^{3}\) es un modelo razonable para la ropa.

La aleación de aluminio se toma de la Ref.32, utilizando la composición que se indica en el mismo documento.

El nitrato de amonio se toma de la Ref.40. Es un material peligroso, comúnmente usado como fertilizante, pero puede ser detonado fácilmente, ya sea intencionalmente o no.

Hemos calibrado los datos anteriores en una escala absoluta como se explica en la sección "Patrones de difracción", que produce la sección transversal de dispersión diferencial por unidad de volumen (sin el factor de polarización): \(V^{-1}(d\sigma / d\Omega )_{\text{XRD}}\).

Dado que la resolución de XRD de laboratorio de la literatura supera con creces la de nuestro escáner de aeropuerto propuesto, debemos manchar la verdad del terreno sobre el ancho \(\langle (\Delta q)^2\rangle\) de cada vía de difracción individual como se muestra en Eq . (21). Luego aplicamos la Ec. (2) para calcular el número esperado de fotones XRD para cada medición. También agregamos la dispersión Compton incoherente como se explica en la Sección refsec:compton. Por último, usamos un generador de números aleatorios de Poisson para simular el ruido de conteo de fotones como se muestra en la ecuación. eqrefmatrixproduct. Un segmento 2D de esta simulación directa se muestra en 2D en la Fig. 9, y un segmento 1D se muestra en la Fig. 10 (la escalera azul).

Una porción de la simulación directa determinista, con ruido de Poisson agregado como se describe en la ecuación. (1). En total, hay aproximadamente 44 000 fotones en esta instantánea del detector, o alrededor de 1 100 000 fotones para las 32 posiciones de la fuente.

Segmento unidimensional de la medición ruidosa de la Fig. 9. A modo de comparación, mostramos el número de fotones \({\textbf{N}} = {\mathbb{A}}\cdot {\textbf{F}}+{ \text{sesgo}}\), calculado utilizando el \({\textbf{F}}\) reconstruido, así como el cálculo de la verdad fundamental libre de ruido para el número de fotones, Eq. (2).

Para realizar la reconstrucción XRD (Paso 4 en el flujo de trabajo de imágenes), primero calculamos la matriz del modelo \({\mathbb{A}}\) usando la ecuación. (40). El resultado (un corte) se muestra en la Fig. 11. Este cálculo requiere una reconstrucción MECT previa, que proporciona los coeficientes fotoeléctrico y Compton \((a_1, a_2)\) a una alta resolución espacial (ver Fig. 1). Además, usamos \((a_1,a_2)\) para simular la dispersión de Rayleigh y Compton que se espera que caiga sobre los detectores XRD (ver Fig. 8). La contribución de Compton simulada se usa para corregir el sesgo, mientras que la contribución de Rayleigh se puede usar como punto de partida \({\textbf{F}}^{(0)}\) de un esquema de reconstrucción iterativo. Aquí aplicamos el algoritmo de Lucy-Richardson, que aunque no siempre es rápido, es robusto frente al fuerte ruido de Poisson:

En la ecuación anterior, el símbolo de estrella (\(*\)) y las divisiones son operaciones puntuales, mientras que el símbolo de punto (\(\cdot\)) es el producto matriz-vector. El sesgo en el denominador es la dispersión Compton simulada, que siempre es positiva, por lo que nunca tenemos un cero en el denominador. El algoritmo es multiplicativo, lo que garantiza que la solución no sea negativa. Se garantiza que cada iteración reduzca la función de costo de probabilidad de Poisson, que es apropiada para recuentos de fotones muy bajos. Por lo general, la solución converge en unos pocos cientos de iteraciones, y eso es mucho más rápido que construir la matriz \({\mathbb{A}}\) en sí.

Mostrando una sección transversal 3D de la matriz 5D completa \({\mathbb{A}}\). Observe que estos coeficientes también dependen de las dos dimensiones restantes, es decir, el par fuente-detector (aquí solo se muestra un par). En particular, hay más pesos distintos de cero más allá de 30 keV para el material desconocido No. 3 en otros pares, todos los cuales se utilizan en la reconstrucción. La matriz \({\mathbb{A}}\) no depende de la naturaleza de los materiales. Las identidades de los tres materiales desconocidos solo se revelarán después de la reconstrucción y la toma de huellas dactilares en la base de datos de patrones de difracción conocidos.

El último paso en el flujo de trabajo de imágenes XRD es tomar las huellas dactilares de los patrones de difracción reconstruidos contra una base de datos de materiales conocidos (Paso 5). La construcción de tal base de datos es un proyecto futuro. Por ahora, solo comparamos los resultados de nuestra reconstrucción con la verdad del terreno inicial, que se muestra en escalas lineales y logarítmicas (Fig. 12). Como se anticipó, cada curva reconstruida es esencialmente una versión de baja resolución de la realidad del terreno. Por ahora solo lo inspeccionamos visualmente en escalas lineales y logarítmicas, y observamos una coincidencia cualitativa. No hemos desarrollado una figura de mérito (FOM) para cuantificar el grado en que un patrón reconstruido coincide con un patrón de alta resolución de una base de datos. Un FOM ingenuo como la suma de errores cuadrados (ya sea en escalas lineales o logarítmicas) probablemente no sea lo suficientemente robusto para un escáner real. Por ejemplo, puede haber un error de calibración que desplace el patrón reconstruido a lo largo del eje q, en cuyo caso el error cuadrático es alto, aunque el patrón general tenga la forma correcta. Una FOM más robusta podría ser Earth Mover's Distance (Ref.41), o incluso mejor, una red neuronal profunda 1D (Ref.42) entrenada en maletas reales.

Patrones de difracción reales reconstruidos vs. La celulosa es un material amorfo, por lo que sus picos de difracción son muy amplios y, por lo tanto, se miden fácilmente con nuestra tomografía XRD de baja resolución. Los otros dos materiales son bastante cristalinos, aproximadamente 10 veces por encima de la resolución de nuestro escáner de ejemplo. Sin embargo, las tres sustancias todavía son claramente distinguibles. En particular, un material es consistente con una amenaza conocida (nitrato de amonio). Por lo tanto, la maleta se puede marcar para la búsqueda manual. Otros materiales benignos también podrían haber dado lugar a una reconstrucción similar (un falso positivo). Sin embargo, el escáner sigue siendo una herramienta de detección útil, ya que reduce la necesidad de buscar manualmente maletas donde ninguno de los patrones reconstruidos es consistente con amenazas conocidas. La tasa de falsos positivos puede reducirse, por ejemplo, estrechando la abertura de la rendija, ecuación. (37), lo que aumentará la resolución, pero reducirá el flujo, por lo que se prolongará el tiempo de proyección.

Dejando a un lado las huellas dactilares, realizamos una verificación de cordura en el resultado de la ecuación. (47). Reemplazamos el \({\textbf{F}}\) reconstruido en la ecuación. (1), y grafique el producto resultante como círculos rojos en la Fig. 10. Como se esperaba, el resultado es muy similar al modelo directo sin ruido (curva discontinua negra). Para resumir, en esta sección hemos (1) realizado una simulación directa usando datos reales de campo de la literatura, (2) aplicado ruido de Poisson, (3) invertido la medición ruidosa usando el algoritmo de Lucy-Richardson, (4) proyectado hacia adelante el resultado y verificó que coincide con la simulación inicial en el paso 1. Los patrones de difracción reconstruidos se asemejan a la realidad del terreno, pero tienen una resolución más baja, como se esperaba.

Hemos comenzado este artículo con una descripción general de la literatura, la sección "Resumen de la literatura", que incluye docenas de aplicaciones experimentales y del mundo real para la tomografía XRD. No hay duda de que la idea de reconstruir múltiples patrones XRD a partir de grandes fantasmas es válida y funciona en la práctica. También está claro a partir de la literatura, así como intuitivamente, que el flujo de fotones es mayor para geometrías con menos colimación. Sin embargo, tenga en cuenta que la relación entre el flujo y la calidad de la reconstrucción no es lineal. A partir de la estadística de Poisson43, sabemos que el error de reconstrucción debido al ruido del disparo es proporcional al inverso del cuadrado del número de fotones detectados, es decir, \(1/\sqrt{N}\). Esta función es bastante plana cuando N es alto, pero aumenta muy abruptamente cuando \(N\rightarrow 0\). Como consecuencia, en el caso de un flujo muy bajo, cada fotón es valioso y aumentar el flujo aunque sea ligeramente dará como resultado una medición significativamente mejor.

Nuestra principal contribución fue mostrar cómo reconstruir patrones XRD a partir de un escaneo mínimamente colimado. La calidad numérica de nuestros resultados es muy buena, como se evidencia en la Fig. 10 por una coincidencia entre la proyección hacia adelante de la realidad básica (curva discontinua negra) y la proyección hacia adelante de los datos reconstruidos (círculos rojos). Por supuesto, en realidad, habrá muchos artefactos que degradarán la calidad de la reconstrucción. En particular, nuestra ecuación clave, Eq. (32), contiene entradas teóricas simplificadas para los tamaños del punto focal, el grosor del vóxel y el píxel detector. Además, la ecuación. (12) utiliza una simulación teórica SpekCalc para el espectro fuente y supone una eficiencia de detector perfecta. En realidad, las entradas como estas deberán calibrarse experimentalmente para cualquier escáner dado, aunque la forma funcional de nuestras ecuaciones debería seguir siendo válida.

La resolución de nuestros patrones XRD reconstruidos está limitada principalmente por la sensibilidad energética de los detectores de rayos X disponibles, consulte la ecuación. (11). Este parámetro de hardware está fuera de nuestro control, aunque la tecnología tiene espacio para mejorar, especialmente si un gran mercado como la seguridad aeroportuaria comienza a exigirlo. Otro parámetro clave que podemos controlar es la apertura de la rendija \(\varphi _1-\varphi _2\), que determina el grosor del vóxel, Eq. (8). Esta apertura es directamente proporcional al flujo de fotones, pero también degrada la resolución, Eq. (32), dado que el vector auxiliar \({\textbf{V}}\) tiene un componente grande a lo largo del eje z, vea la Fig. 7. Los escáneres MECT típicos tienen una apertura de 1-2\(^\circ\ ), mientras que las máquinas XRD típicas tienen una divergencia de haz más cercana a \(0.02^{\circ }\)44. Aquí hemos asumido un término medio razonable de 0,5\(^\circ\), aunque este parámetro tendrá que ajustarse aún más con un escáner real.

El algoritmo de reconstrucción que hemos utilizado, Eq. (47), es bastante genérico y puede estar lejos de ser óptimo considerando los desafíos únicos de las imágenes XRD. En particular, nuestro modelo es un sistema lineal de ecuaciones \({\mathcal{O}}(10^6)\) (una para cada contenedor de energía fuente-detector relevante) y \({\mathcal{O}}( 10^3)\) incógnitas, que son el puñado de patrones de difracción unidimensionales. A primera vista, esto parece un sistema altamente sobredeterminado, por lo tanto, debería ser fácil de resolver. Sin embargo, la información contenida en cada ecuación se superpone fuertemente. Esta redundancia se deriva de la resolución intrínsecamente baja. Además, los recuentos de fotones pueden ser muy bajos, lo que da como resultado muchas mediciones con recuentos cero (la salida es escasa). Por último, los patrones de difracción no son libres de asumir cualquier forma aleatoria, por lo que de las incógnitas \({\mathcal{O}}(10^3)\) quizás solo \({\mathcal{O}}(10) \) son verdaderamente independientes. Para resumir, necesitamos reconstruir una docena de grados de libertad a partir de un millón de mediciones, mientras anticipamos completamente que esas mediciones tendrán una resolución pobre y un alto nivel de ruido. Es un problema complejo y podría beneficiarse de técnicas de reconstrucción más avanzadas, que incluyen

regularización que preserva los bordes y los detalles,

hacer cumplir la escasez en una base adecuada (por ejemplo, en una base wavelet),

buscar patrones de difracción de un espacio funcional de baja dimensión (por ejemplo, un fondo suave más algunos picos con ubicaciones y alturas desconocidas),

aprendizaje profundo, ver Refs.45,46,47,48.

Muchos de los desafíos que hemos encontrado son exclusivos de la seguridad aeroportuaria. Es un área particularmente exigente para las imágenes de rayos X, debido a la enorme variabilidad en el tamaño, la forma y la composición de los materiales que se encuentran en las maletas. Por otro lado, hay mucho interés en la tomografía XRD para dominios distintos a la seguridad aeroportuaria, como la atención médica o el control de calidad de fabricación. Los ejemplos incluyen defectos de imagen en hormigón49 y metales50, especialmente para el control de calidad en la impresión 3D51. Mientras que la tomografía de transmisión tiene una resolución de \({\mathcal{O}}(10^{-3}\,\hbox{m})\, la tomografía de difracción puede revelar detalles en el \({\mathcal{O}} (10^{-9}\,\hbox{m})\) rango. La nanoestructura de un material se puede inferir ajustando un modelo molecular al patrón de difracción reconstruido. Por ejemplo, si medimos un pico de difracción en \(q=1\) Å−1, la ley de Bragg dice que corresponde a una red de átomos con una separación de \(d=2\pi /q = 0,63\,\ hbox{nm}\). Dicha información se ha utilizado para revelar la nanoestructura de los huesos52 y las calcificaciones en tejidos blandos como el seno humano53.

En ciertas aplicaciones como las mencionadas anteriormente, solo hay una pequeña cantidad de materiales difractantes, a menudo conocidos de antemano. Además, la modalidad MECT proporciona toda la información espacial (ubicaciones, formas de los objetos), así como alguna información sobre la composición del material (densidad y número atómico promedio). Muy a menudo, el propósito de una exploración de rayos X es responder a una simple pregunta de sí/no (amenaza frente a benigno, cáncer frente a sano, etc.). Si ese es el caso, puede que no haya necesidad de ejecutar la inversión XRD costosa y propensa a errores, Eq. (47). Podría ser mucho más rápido y más robusto simplemente ejecutar simulaciones hacia adelante usando la ecuación. (2) con una lista de patrones de difracción conocidos \({\textbf{F}}\). Entonces solo necesitamos comprobar cuál de los posibles conjuntos de materiales da lugar a datos más cercanos a la medida \({\textbf{N}}\). Incluso en el difícil caso de la seguridad aeroportuaria, no hay más que unas pocas docenas de tipos de explosivos y un puñado de tipos de drogas que comúnmente se contrabandean. Si pudiéramos aumentar de manera rentable la precisión de la detección solo para algunas de las amenazas más comunes, ayudaría enormemente a las fuerzas del orden.

En este trabajo hemos mostrado cómo identificar múltiples materiales a partir de un gran fantasma utilizando tomografía XRD. La configuración es esencialmente la misma que la MECT de haz de ventilador, pero con un detector adicional en uno (o ambos) lados del ventilador. Solo los fotones difractados pueden llegar a esas áreas, y sin un detector, la información que transportan se perdería. En este diseño no hay colimadores más allá de los requeridos por MECT de haz en abanico, lo que da como resultado el flujo de fotones XRD más alto posible. Solo con la transmisión, MECT solo puede producir dos números por vóxel (los coeficientes fotoeléctrico y Compton). Nuestra reconstrucción, aunque está lejos de la calidad de XRD de laboratorio de muestra pequeña, brinda mucha más información que solo dos números, consulte la Fig. 12.

En conclusión, un complemento de imágenes XRD para los escáneres CT existentes es factible y está bien posicionado para proporcionar información única y específica del material, a un bajo costo de instalar uno o dos detectores adicionales y desarrollar un software de reconstrucción adecuado.

Los conjuntos de datos generados durante el estudio actual no están disponibles públicamente debido a restricciones legales, pero están disponibles del autor correspondiente a pedido razonable.

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Descargar referencias

Alexander Katsevich de la Universidad de Florida Central y iTomography Corporation, así como Micheal Frenkel de iTomography Corporation han brindado sugerencias y comentarios útiles para el borrador inicial de este artículo. William Thompson y Edward Morton de Rapiscan Systems revisaron y brindaron comentarios útiles sobre partes del software GPU desarrollado durante esta investigación. Reconocemos las discusiones sobre la tecnología de imágenes de rayos X con Anders Priest y Jacob Conn de Rapiscan Systems. Reconocemos la correspondencia útil con Theyencheri Narayanan de ESRF sobre la calibración de datos SAXS y WAXS.

Esta investigación fue financiada en parte por la Dirección de Ciencia y Tecnología del Departamento de Seguridad Nacional de EE. UU. en virtud de un contrato adjudicado por concurso: 70-RSAT-18-C-B0000047. Este apoyo no constituye un respaldo expreso o implícito por parte del Gobierno. El Titan V utilizado en esta investigación fue donado por NVIDIA Corporation.

Corporación iTomography, Houston, TX, 77021, EE. UU.

Airidas Korolkov

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AK realizó la investigación, derivó las ecuaciones, desarrolló el software CUDA, obtuvo los resultados y escribió el artículo.

Correspondencia a Airidas Korolkovas.

El autor declara que no hay conflictos de intereses.

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Korolkovas, A. Tomografía de difracción de rayos X rápida (XRD) para mejorar la identificación de materiales. Informe científico 12, 19097 (2022). https://doi.org/10.1038/s41598-022-23396-2

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Recibido: 06 julio 2022

Aceptado: 31 de octubre de 2022

Publicado: 09 noviembre 2022

DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-022-23396-2

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